一阶RC低通滤波器的数学模型及算法实现

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1.一阶RC低通滤波器的连续域数学模型

1.1数学模型的推导

上图是RC低通滤波器的电路模型，根据基尔霍夫定律可知：

即：

根据电容的特性可知：

零状态条件下的时域响应可表示为：

定义时间常数τ=RC，对上述微分方程进行拉氏变换，可得：


由此可得传递函数：

即频域数学模型为：

1.2频率特性

相频特性：

幅频特性：

以R=100Ω，C=100nF为例，该低通滤波器的频率特性如下：

1.3物理作用：

输入一个阶跃信号，经过时间τ之后，输出大约为阶跃量的63%，滞后作用。

2.一阶RC低通滤波器的算法推导

2.1离散化

采用一阶后向差分法将传递函数G(s)从S域转化到Z域，其中一阶后向差分中S域与Z域的变化关系是：

其中T是采样周期，带入传递函数G(s)中得：



Z反变换求差分方程后可得：


令

可得

关于滤波系数A

所以

代入

可以得到滤波系数A与截止频率f的关系：

3.一阶RC低通滤波器的C语言实现

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#define a 0.01               // 滤波系数a（0-1） 

static float oldOutData = 0; //上一次滤波值

char filter(void)
{
    nowData  = get_Data();  //本次滤波值
    nowOutData = a * nowData  + (1.0f - a) * oldOutData;
    oldOutData = nowOutData;
    return nowOutData;  
}

4.缺点及改善方法

4.1缺点

●仍然存在灵敏度与平稳度之间的矛盾；
●小数舍弃带来的误差（单片机很少采用浮点数，小数位要么舍弃，要么四舍五入）。

4.2改善方法——动态调整滤波系数

4.2.1实现功能

●当数据快速变化时，滤波结果能及时跟进，并且数据的变化越快，灵敏度应该越高（灵敏度优先原则）；
●当数据趋于稳定，并在一个范围内振荡时，滤波结果能趋于平稳（平稳度优先原则）；
●当数据稳定后，滤波结果能逼近并最终等于采样数据（消除因计算中小数带来的误差）。

4.2.2调整前判断

●数据变化方向是否为同一个方向（如当连续两次的采样值都比其上次滤波结果大时，视为变化方向一致，否则视为不一致）；
●数据变化是否较快（主要是判断采样值和上一次滤波结果之间的差值）。

4.2.3调整原则

●当两次数据变化不一致时，说明有抖动，将滤波系数清零，忽略本次新采样值；
●当数据持续向一个方向变化时，逐渐提高滤波系数，提供本次采样值得权；
●当数据变化较快（差值＞消抖计数加速反应阈值）时，要加速提高滤波系数。